Hasil Pencarian  ::  Simpan CSV :: Kembali

"Salah satu masalah dasar dalam topologi adalah menentukan apakah dua ruang topologi saling homeomorfik atau tidak. Secara intuisi dua ruang dikatakan homeomorfik jika ruang yang satu dapat diubah menjadi ruang yang lain tanpa dipotong atau ditempel, sedangkan secara matematis adalah dengan menunjukkan terdapat homeomorfisma antara keduanya. Untuk menunjukkan dua ruang tidak homeomorfik dilakukan dengan menunjukkan terdapat sifat topologi yang berlaku pada satu ruang tapi tak berlaku pada ruang lainnya. Kulit bola, torus, bidang proyeksi dan figure eight adalah ruang-ruang topologi yang jika dilihat dari bentuknya dapat dikatakan tidak homeomorfik tetapi secara matematis sulit untuk menunjukkan ruang-ruang ini tidak homeomorfik karena keempat ruang ini mempuyai banyak sekali sifat topologi yang sama. Karena itu akan digunakan perbedaan sifat grup fundamental dari masing masing ruang untuk menunjukan bahwa keempat ruang ini tidak homeomorfik, jika grup fundamental dari kulit bola, torus, bidang proyeksi dan figure eight tidak isomorfik, maka keempat ruang tersebut tidak homeomorfik. Akan dicari sifat grup fundamental dari masingmasing ruang, kemudian akan ditunjukkan bahwa sifat grup fundamental dari masing-masing ruang tersebut tidak isomorfik."

"Salah satu masalah dasar dalam topologi adalah menentukan apakahdua ruang topologi saling homeomorfik atau tidak. Secara intuisi dua ruangdikatakan homeomorfik jika ruang yang satu dapat diubah menjadi ruangyang lain tanpa dipotong atau ditempel, sedangkan secara matematis adalahdengan menunjukkan terdapat homeomorfisma antara keduanya. Untukmenunjukkan dua ruang tidak homeomorfik dilakukan dengan menunjukkanterdapat sifat topologi yang berlaku pada satu ruang tapi tak berlaku padaruang lainnya. Kulit bola, torus, bidang proyeksi dan figure eight adalahruang-ruang topologi yang jika dilihat dari bentuknya dapat dikatakan tidakhomeomorfik tetapi secara matematis sulit untuk menunjukkan ruang-ruangini tidak homeomorfik karena keempat ruang ini mempuyai banyak sekali sifattopologi yang sama. Karena itu akan digunakan perbedaan sifat grupfundamental dari masing masing ruang untuk menunjukan bahwa keempatruang ini tidak homeomorfik, jika grup fundamental dari kulit bola, torus, bidang proyeksi dan figure eight tidak isomorfik, maka keempat ruang tersebut tidak homeomorfik. Akan dicari sifat grup fundamental dari masingmasingruang, kemudian akan ditunjukkan bahwa sifat grup fundamental dari masing-masing ruang tersebut tidak isomorfik."

"Adanya homeomorfisma diantara dua ruang topologi membawa sifat topologi yang berlaku di kedua ruang tersebut, diantaranya adalah terhubung dan kompak. Menunjukkan dua ruang homeomorfik dapat dilakukan dengan membangun homeomorfisma diantara ruang tersebut. Tetapi tidaklah mudah, melalui definisi homeomorfisma, untuk menunjukkan dua ruang tidak homeomorfik. Melalui sifat topologi, dua ruang akan tidak homeomorfik jika terdapat sifat topologi yang berlaku hanya di salah satunya. Dengan sifat topologi yang ada, belumlah cukup untuk menentukan beberapa ruang topologi tidak homeomorfik. Grup fundamental dapat didefinisikan di tiap ruang topologi dan digunakan untuk menunjukkan apakah dua ruang tidak homeomorfik. Grup-grup fundamental pada ruang terhubung lintasan saling isomorfik dan grup fundamental dari dua ruang akan isomorfik jika terdapat homeomofisma antara dua ruang tersebut. Sebagai contoh, dipelajari grup fundamental pada lingkaran yang isomorfik dengan (Z,+) , yaitu grup himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan biasa. "

"Pada topologi, homeomorfisme adalah pemetaan antara ruang topologi yang bersifat bijektif, kontinu, dan memiliki invers kontinu. Keberadaan homeomorfisme antara dua ruang topologi mengakibatkan ruang-ruang tersebut dianggap sama secara topologi. Dalam topologi, salah satu masalah utama yang dihadapi adalah masalah penentuan keberadaan homeomorfisme antara dua ruang topologi. Invarian topologi adalah sifat dari ruang topologi yang tidak berubah terhadap homeomorfisme, sehingga invarian topologi sering digunakan pada penetuan keberadaan homeomorfisme antara ruang-ruang topologi. Salah satu invarian topologi pada topologi aljabar adalah grup fundamental, yang merupakan grup dari kelas-kelas ekuivalensi gelung (loop) pada ruang topologi. Teorema van Kampen adalah sebuah teorema mengenai homomorfisme antara grup fundamental dari ruang topologi, yang dapat digunakan untuk menentukan grup fundamental dari ruang topologi yang dapat didekomposisi menjadi ruang topologi yang lebih sederhana. Pada tugas akhir ini, dibuktikan kembali teorema van Kampen secara rinci.

---

In topology, homeomorphism is a bijective continuous mapping between topological spaces with continuous inverse. The existence of homeomorphism between two topological spaces results in those spaces being considered topologically equivalent. A main problem faced in topology is the problem of determining the existence of homeomorphism between two topological spaces. Topological invariant is a property of topological space that does not change under homeomorphism, so so topological invariants are often used in determining the existence of homeomorphisms between topological spaces. One of the topological invariants used in algebraic topology is fundamental space, which is the group of equivalence classes of loops in topological spacae. Van Kampen theorem is a theorem about homomorphism between fundamental group of topological spaces, which can be used to determine fundamental group of topological space that can be decomposed into simpler topological space. This thesis will provide a detailed proof of van Kampen theorem."

"This book is an introductory graduate-level textbook on the theory of smooth manifolds. Its goal is to familiarize students with the tools they will need in order to use manifolds in mathematical or scientific research, smooth structures, tangent vectors and covectors, vector bundles, immersed and embedded submanifolds, tensors, differential forms, de Rham cohomology, vector fields, flows, foliations, Lie derivatives, Lie groups, Lie algebras, and more. The approach is as concrete as possible, with pictures and intuitive discussions of how one should think geometrically about the abstract concepts, while making full use of the powerful tools that modern mathematics has to offer.The book now introduces the two most important analytic tools, the rank theorem and the fundamental theorem on flows. A few new topics have been added, notably Sard’s theorem and transversality, a proof that infinitesimal Lie group actions generate global group actions, a more thorough study of first-order partial differential equations, a brief treatment of degree theory for smooth maps between compact manifolds, and an introduction to contact structures."

"This textbook explores the theory behind differentiable manifolds and investigates various physics applications along the way. Basic concepts, such as differentiable manifolds, differentiable mappings, tangent vectors, vector fields, and differential forms, are briefly introduced in the first three chapters. Chapter 4 gives a concise introduction to differential geometry needed in subsequent chapters. Chapters 5 and 6 provide interesting applications to connections and Riemannian manifolds. Lie groups and Hamiltonian mechanics are closely examined in the last two chapters. "

"Grup permutasi merupakan konsep yang penting dalam teori grup dan juga pemodelan. Oleh karena itu, Teorema Cayley yang menyatakan bahwa sembarang grup isomorfis dengan suatu subgrup dari suatu grup permutasi memiliki peran yang penting dalam teori grup. Saat ini, bukti dari Teorema Cayley yang dikenal secara umum dilakukan dengan mengonstruksi isomorfisma pada subgrup dari suatu grup permutasi yang bersesuaian. Selain bukti dengan konstruksi, Lema Yoneda yang terdapat dalam teori kategori dapat digunakan untuk membuktikan Teorema Cayley. Untuk sembarang grup G dapat dibuat suatu kategori dengan satu objek } dan himpunan morfisma hom(};}) = G serta komposisi morfisma ab = ba. Teorema Cayley dapat dibuktikan dengan mengaplikasikan Lema Yoneda pada kategori ini beserta fungtor yang bersesuaian.

---

Permutation group is an important concept in group theory and modeling. Therefore, Cayley Theorem which states that any group is isomorphic to some subgroup of some permutation group plays an important role in group theory. Now, the well-known proof of Cayley Theorem is done by constructing an isomorphism to an appropriate subgroup of a permutation group. On the other hand, Yoneda Lemma which is a part of category theory can also be used to prove Cayley Theorem. For any group G, consider a category consisting of one object } and a set of morphisms hom(};}) = G with composition of morphisms ab = ba. By applying Yoneda Lemma on this category with an appropriate functor, Cayley Theorem can be proved."